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±
- 3(±+²)(±+1) + 2
2
(±+²)(±+²+1)(±+²+2) (±+²+1) ±+²
3
2
±²
(±+²)2(±+²+1)
"
2(² - ±) ± + ² + 1
= "
(± + ² + 2) ±²
" Die Betafunktion B(±, ²) ist definiert durch
“(±)“(²)
B(±, ²) = .
“(± + ²)
B.2. STETIGE VERTEILUNGEN (SHV) 145
B.2.9 Invers-Gaußsche-Verteilung
Die Invers-Gaußsche-Verteilung wird in ver-
allgemeinerten linearen Modellen verwendet.
In der Risikotheorie ist sie bisher nur wenig
erforscht und wird demzufolge auch kaum an-
1
gewandt. Sie ist jedoch eine mögliche Alter-
native zu Gammaverteilungen.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Dichten für » = 1, µ = 1, 2, 3
(oben) und für » = 0.5, 2, 3 und
µ = 1 (unten).
1
2 -»(x-µ)2
» µ
2µ2x
Dichte e 1(0, ")(x) Schiefe 3
2Àx3 »
» 2µ2it
1- 1-
charakt.
µ »
EWert µ e
Funktion
» 2µ2t
1- 1-
µ3
momenterz.
µ »
Var e
Funktion
»
µ
VarK
»
" Parameter » > 0 und µ > 0.
" Sind X1, . . . , Xn stochastisch unabhängig mit inverser Gauß-Verteilung mit Parametern
n
1
», µ, dann hat Xi wieder eine inverse Gaußverteilung mit den Parametern n»
i=1
n
und nµ.
146 ANHANG B. STECKBRIEFE VON VERTEILUNGEN
B.2.10 Pareto-Verteilung
Die Pareto-Verteilung ist geeignet zur
Modellierung von Großschäden, ins-
besondere im Industrie-Feuer und
Rückversicherungsbereich. Im Text 2.4.2
1.4
wurden drei verschiedene Paretovertei-
lungen erwähnt: P ar"(a, 1), P ar"(a, b)
1.2
und P ar(a, b). Hier betrachten wir die
1
P ar"(a, b)-Verteilungen. Die Verteilungen
P ar(a, b) werden danach als verschobene
0.8
Paretoverteilungen abgehandelt.
0.6
0.4
0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Dichten mit b = 2 und a = 2
(dick), a = 3 (dünn) und a = 4
(gestrichelt).
a a2 a3
- 3(a-2)(a-1) + 2(a-1)
3
a
a-3
Dichte (x/b)-(a+1)1(b, ")(x) Schiefe
3
b
a a2 2
-
a-2 (a-1)2
ab
charakt.
EWert nicht angebbar
Funktion
a - 1
a a2 momenterz.
Var b2 - existiert nicht
a - 2 (a - 1)2 Funktion
(a - 1)2
VarK - 1
a(a - 2)
" Parameter a > 0 und b > 0. ..
" Ist X paretoverteilt mit Parametern a und 1, dann ist log X exponentialverteilt mit
Parameter a.
B.2. STETIGE VERTEILUNGEN (SHV) 147
B.2.11 Verschobene Pareto-Verteilung
Die verschobene Pareto-Verteilung ist ge-
eignet zur Modellierung von Großschäden,
insbesondere im Industrie-Feuer und
Rückversicherungsbereich. 2
1.5
1
0.5
02 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x
Dichten mit ² = 2 und ± = 2
(dick), ± = 3 (dünn) und ± = 4
(gestrichelt).
a a2 a3
- 3(a-2)(a-1) + 2(a-1)
3
a-3
Dichte ab(1 + bx)-(a+1)1(0, ")(x) Schiefe
3
a a2 2
-
a-2 (a-1)2
1
charakt.
EWert nicht angebbar
Funktion
b(a - 1)
1 a a2
momenterz.
Var - existiert nicht
b2 a - 2 (a - 1)2 Funktion
a(a - 1)2
VarK - a2
a - 2
" Parameter a > 0 und b > 0.
1
" Ist X Pareto-verteilt, so hat Y = (X - 1) eine verschobene Pareto-Verteilung.
b
148 ANHANG B. STECKBRIEFE VON VERTEILUNGEN
Literaturverzeichnis
[1] Beard,R.E. and Pentikäinen,T. and Pesonen,M. : Risk Theory. Chapman and Hall, 1984.
[2] Beekman,J.A.: Two Stochastic Processes. Almqvist and Wiksell International, 1974.
[3] Borch,K.: The Mathematical Theory of Insurance. Lexington Books, 1974.
[4] Bowers,N.K. and Gerber,H.U. and Hickman,J.C. and Jones,D.A. and Nesbitt,C.J.: Ac-
tuarial Mathematics. Society of Actuaries, 1987.
[5] Bühlmann,H.: Mathematical Methods in Risk Theory. Springer, 1970.
[6] Daykin,C.D. and Pentikäinen,T. and Pesonen,M.: Practical Risk Theory for Actuaries,
Chapman and Hall, 1994.
[7] Embrechts, P., Klüppelberg, C., und Mikosch, T.: Modelling extremal events. Springer
1997.
[8] Feller,W.: An Introduction to Probability Theory and its Application. Wiley, 1970,
BandI und II.
[9] Gerber,H.U.: An Introduction to Mathematical Risk Theory. S.S. Huebner Foundation,
1979.
[10] Goovaerts,M.J. and Vylder,F. de and Haezendonck,J.: Insurance Premiums. North-
Holland, 1984.
[11] Heilmann,W.R.: Grundbegriffe der Risikotheorie. Verlag Versicherungswirtschaft, Karls-
ruhe, 1987.
[12] Hipp,C. und Michel,R.:Risikotheorie: Stochastische Modelle und Statistische Methoden.
Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe, 1990, Angewandte Versicherungsmathema-
tik, Band 24.
[13] Hogg,R.V. and Klugman,S.A.: Loss Distributions. Wiley, 1984.
[14] Hossack,I.B. and Pollard,J.H. and Zehnwirth,B.: Introductory Statistics With Applica-
tion in General Insurance. Cambridge University Press, 1984.
[15] Jordan,C.W.: Life Contingencies. The Society of Actuaries, 1982.
149
150 LITERATURVERZEICHNIS
[16] Kahn,P.M.: Credibility: Theory and Applications. Academic Press, 1975.
[17] Karlin,S. and Taylor,H.M.: A First Course in Stochastic Processes. Academic Press,
1975.
[18] Kremer,E.: Einführung in die Versicherungsmathematik. Vandenhoek und Ruprecht,
1985.
[19] Krengel,U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg, 1991,
3. Auflage, Vieweg Studium Aufbaukurs Mathematik, Band 21.
[20] Mack, T.: Schadenversicherungsmathematik. Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe,
1997, Angewandte Versicherungsmathematik, Band 26.
[21] Seal,H.L.: Stochastik Theory of a Risk Business. Wiley, 1969.
[22] Straub,E.: Non-Life Insurance Mathematics. Springer, 1988.
[23] Sundt,B.: An Introduction to Non-Life Insurance Mathematics. Verlag Versicherungs-
wirtschaft, 1984, Karlsruhe.
Index
a-priori-Verteilung, 83 Fundamentalgleichung, 39
Abzugsfranchise, 4 Funktionsweise von Versicherung, 2
Aktuar, 2
Gamma-Verteilung, 22
Algorithmus, 36
Gammaverteilung, 52
Alter, 100
Gammaverteilungen, 34
Alter des Autos, 100
geometrische Verteilung, 39
Anpassungskoeffizient, 59
Gesamtschadenverteilung, 38
Approximationen von Tailwahrscheinlich-
Gewinnbeteiligung, 3
keiten, 55
Gleichverteilung, 21
Ausgleich im Kollektiv, 2
Hachemeister, 88
Bayes sche Statistik, 83
Hachemeister-Daten, 87
Berechnung von Summenverteilungen, 41
Haftungsbegrenzung, 78
Binomialverteilung, 20, 21
Haftungsobergrenze, 25
hierarchische Credibility, 88
charakteristische Funktion, 26
Cramer-Lundberg-Ungleichung, 59
Individuelles Modell, 35
Integralfranchise, 4
DAV, 2
Irrtumsrisiko, 5
Deregulierung, 1
Iterationen, 77
Diskrete Ruinwahrscheinlichkeit, 57
Kilometerleistung, 100
Eigenschaften von Praemienprinzipien, 71
Kollektiv, 2
Eindeutigkeitssatz, 28
Kollektives Modell, 37
Elementarereignisse, 9
Konvergenz der Poissonverteilung, 33
empirischen Verteilung, 73
Korrelation, 17
Erfahrungstarifierung, 84
Korrelationskoeffizienten, 18
erwartungstreu, 75
Kumulanten, 27
Erwartungswerte, 12
Kumulrisiken, 3
erzeugende Funktion, 26
Kumulrisiko, 6 [ Pobierz całość w formacie PDF ]
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±
- 3(±+²)(±+1) + 2
2
(±+²)(±+²+1)(±+²+2) (±+²+1) ±+²
3
2
±²
(±+²)2(±+²+1)
"
2(² - ±) ± + ² + 1
= "
(± + ² + 2) ±²
" Die Betafunktion B(±, ²) ist definiert durch
“(±)“(²)
B(±, ²) = .
“(± + ²)
B.2. STETIGE VERTEILUNGEN (SHV) 145
B.2.9 Invers-Gaußsche-Verteilung
Die Invers-Gaußsche-Verteilung wird in ver-
allgemeinerten linearen Modellen verwendet.
In der Risikotheorie ist sie bisher nur wenig
erforscht und wird demzufolge auch kaum an-
1
gewandt. Sie ist jedoch eine mögliche Alter-
native zu Gammaverteilungen.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Dichten für » = 1, µ = 1, 2, 3
(oben) und für » = 0.5, 2, 3 und
µ = 1 (unten).
1
2 -»(x-µ)2
» µ
2µ2x
Dichte e 1(0, ")(x) Schiefe 3
2Àx3 »
» 2µ2it
1- 1-
charakt.
µ »
EWert µ e
Funktion
» 2µ2t
1- 1-
µ3
momenterz.
µ »
Var e
Funktion
»
µ
VarK
»
" Parameter » > 0 und µ > 0.
" Sind X1, . . . , Xn stochastisch unabhängig mit inverser Gauß-Verteilung mit Parametern
n
1
», µ, dann hat Xi wieder eine inverse Gaußverteilung mit den Parametern n»
i=1
n
und nµ.
146 ANHANG B. STECKBRIEFE VON VERTEILUNGEN
B.2.10 Pareto-Verteilung
Die Pareto-Verteilung ist geeignet zur
Modellierung von Großschäden, ins-
besondere im Industrie-Feuer und
Rückversicherungsbereich. Im Text 2.4.2
1.4
wurden drei verschiedene Paretovertei-
lungen erwähnt: P ar"(a, 1), P ar"(a, b)
1.2
und P ar(a, b). Hier betrachten wir die
1
P ar"(a, b)-Verteilungen. Die Verteilungen
P ar(a, b) werden danach als verschobene
0.8
Paretoverteilungen abgehandelt.
0.6
0.4
0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Dichten mit b = 2 und a = 2
(dick), a = 3 (dünn) und a = 4
(gestrichelt).
a a2 a3
- 3(a-2)(a-1) + 2(a-1)
3
a
a-3
Dichte (x/b)-(a+1)1(b, ")(x) Schiefe
3
b
a a2 2
-
a-2 (a-1)2
ab
charakt.
EWert nicht angebbar
Funktion
a - 1
a a2 momenterz.
Var b2 - existiert nicht
a - 2 (a - 1)2 Funktion
(a - 1)2
VarK - 1
a(a - 2)
" Parameter a > 0 und b > 0. ..
" Ist X paretoverteilt mit Parametern a und 1, dann ist log X exponentialverteilt mit
Parameter a.
B.2. STETIGE VERTEILUNGEN (SHV) 147
B.2.11 Verschobene Pareto-Verteilung
Die verschobene Pareto-Verteilung ist ge-
eignet zur Modellierung von Großschäden,
insbesondere im Industrie-Feuer und
Rückversicherungsbereich. 2
1.5
1
0.5
02 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x
Dichten mit ² = 2 und ± = 2
(dick), ± = 3 (dünn) und ± = 4
(gestrichelt).
a a2 a3
- 3(a-2)(a-1) + 2(a-1)
3
a-3
Dichte ab(1 + bx)-(a+1)1(0, ")(x) Schiefe
3
a a2 2
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a-2 (a-1)2
1
charakt.
EWert nicht angebbar
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b(a - 1)
1 a a2
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Var - existiert nicht
b2 a - 2 (a - 1)2 Funktion
a(a - 1)2
VarK - a2
a - 2
" Parameter a > 0 und b > 0.
1
" Ist X Pareto-verteilt, so hat Y = (X - 1) eine verschobene Pareto-Verteilung.
b
148 ANHANG B. STECKBRIEFE VON VERTEILUNGEN
Literaturverzeichnis
[1] Beard,R.E. and Pentikäinen,T. and Pesonen,M. : Risk Theory. Chapman and Hall, 1984.
[2] Beekman,J.A.: Two Stochastic Processes. Almqvist and Wiksell International, 1974.
[3] Borch,K.: The Mathematical Theory of Insurance. Lexington Books, 1974.
[4] Bowers,N.K. and Gerber,H.U. and Hickman,J.C. and Jones,D.A. and Nesbitt,C.J.: Ac-
tuarial Mathematics. Society of Actuaries, 1987.
[5] Bühlmann,H.: Mathematical Methods in Risk Theory. Springer, 1970.
[6] Daykin,C.D. and Pentikäinen,T. and Pesonen,M.: Practical Risk Theory for Actuaries,
Chapman and Hall, 1994.
[7] Embrechts, P., Klüppelberg, C., und Mikosch, T.: Modelling extremal events. Springer
1997.
[8] Feller,W.: An Introduction to Probability Theory and its Application. Wiley, 1970,
BandI und II.
[9] Gerber,H.U.: An Introduction to Mathematical Risk Theory. S.S. Huebner Foundation,
1979.
[10] Goovaerts,M.J. and Vylder,F. de and Haezendonck,J.: Insurance Premiums. North-
Holland, 1984.
[11] Heilmann,W.R.: Grundbegriffe der Risikotheorie. Verlag Versicherungswirtschaft, Karls-
ruhe, 1987.
[12] Hipp,C. und Michel,R.:Risikotheorie: Stochastische Modelle und Statistische Methoden.
Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe, 1990, Angewandte Versicherungsmathema-
tik, Band 24.
[13] Hogg,R.V. and Klugman,S.A.: Loss Distributions. Wiley, 1984.
[14] Hossack,I.B. and Pollard,J.H. and Zehnwirth,B.: Introductory Statistics With Applica-
tion in General Insurance. Cambridge University Press, 1984.
[15] Jordan,C.W.: Life Contingencies. The Society of Actuaries, 1982.
149
150 LITERATURVERZEICHNIS
[16] Kahn,P.M.: Credibility: Theory and Applications. Academic Press, 1975.
[17] Karlin,S. and Taylor,H.M.: A First Course in Stochastic Processes. Academic Press,
1975.
[18] Kremer,E.: Einführung in die Versicherungsmathematik. Vandenhoek und Ruprecht,
1985.
[19] Krengel,U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg, 1991,
3. Auflage, Vieweg Studium Aufbaukurs Mathematik, Band 21.
[20] Mack, T.: Schadenversicherungsmathematik. Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe,
1997, Angewandte Versicherungsmathematik, Band 26.
[21] Seal,H.L.: Stochastik Theory of a Risk Business. Wiley, 1969.
[22] Straub,E.: Non-Life Insurance Mathematics. Springer, 1988.
[23] Sundt,B.: An Introduction to Non-Life Insurance Mathematics. Verlag Versicherungs-
wirtschaft, 1984, Karlsruhe.
Index
a-priori-Verteilung, 83 Fundamentalgleichung, 39
Abzugsfranchise, 4 Funktionsweise von Versicherung, 2
Aktuar, 2
Gamma-Verteilung, 22
Algorithmus, 36
Gammaverteilung, 52
Alter, 100
Gammaverteilungen, 34
Alter des Autos, 100
geometrische Verteilung, 39
Anpassungskoeffizient, 59
Gesamtschadenverteilung, 38
Approximationen von Tailwahrscheinlich-
Gewinnbeteiligung, 3
keiten, 55
Gleichverteilung, 21
Ausgleich im Kollektiv, 2
Hachemeister, 88
Bayes sche Statistik, 83
Hachemeister-Daten, 87
Berechnung von Summenverteilungen, 41
Haftungsbegrenzung, 78
Binomialverteilung, 20, 21
Haftungsobergrenze, 25
hierarchische Credibility, 88
charakteristische Funktion, 26
Cramer-Lundberg-Ungleichung, 59
Individuelles Modell, 35
Integralfranchise, 4
DAV, 2
Irrtumsrisiko, 5
Deregulierung, 1
Iterationen, 77
Diskrete Ruinwahrscheinlichkeit, 57
Kilometerleistung, 100
Eigenschaften von Praemienprinzipien, 71
Kollektiv, 2
Eindeutigkeitssatz, 28
Kollektives Modell, 37
Elementarereignisse, 9
Konvergenz der Poissonverteilung, 33
empirischen Verteilung, 73
Korrelation, 17
Erfahrungstarifierung, 84
Korrelationskoeffizienten, 18
erwartungstreu, 75
Kumulanten, 27
Erwartungswerte, 12
Kumulrisiken, 3
erzeugende Funktion, 26
Kumulrisiko, 6 [ Pobierz całość w formacie PDF ]