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�
- 3(�+�)(�+1) + 2
2
(�+�)(�+�+1)(�+�+2) (�+�+1) �+�
3
2
��
(�+�)2(�+�+1)
"
2(� - �) � + � + 1
= "
(� + � + 2) ��
" Die Betafunktion B(�, �) ist definiert durch
�(�)�(�)
B(�, �) = .
�(� + �)
B.2. STETIGE VERTEILUNGEN (SHV) 145
B.2.9 Invers-Gau�sche-Verteilung
Die Invers-Gau�sche-Verteilung wird in ver-
allgemeinerten linearen Modellen verwendet.
In der Risikotheorie ist sie bisher nur wenig
erforscht und wird demzufolge auch kaum an-
1
gewandt. Sie ist jedoch eine m�gliche Alter-
native zu Gammaverteilungen.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Dichten f�r � = 1, � = 1, 2, 3
(oben) und f�r � = 0.5, 2, 3 und
� = 1 (unten).
1
2 -�(x-�)2
� �
2�2x
Dichte e 1(0,")(x) Schiefe 3
2�x3 �
� 2�2it
1- 1-
charakt.
� �
EWert � e
Funktion
� 2�2t
1- 1-
�3
momenterz.
� �
Var e
Funktion
�

VarK
�
" Parameter � > 0 und � > 0.
" Sind X1, . . . , Xn stochastisch unabh�ngig mit inverser Gau�-Verteilung mit Parametern
n
1
�, �, dann hat Xi wieder eine inverse Gau�verteilung mit den Parametern n�
i=1
n
und n�.
146 ANHANG B. STECKBRIEFE VON VERTEILUNGEN
B.2.10 Pareto-Verteilung
Die Pareto-Verteilung ist geeignet zur
Modellierung von Gro�sch�den, ins-
besondere im Industrie-Feuer und
R�ckversicherungsbereich. Im Text 2.4.2
1.4
wurden drei verschiedene Paretovertei-
lungen erw�hnt: P ar"(a, 1), P ar"(a, b)
1.2
und P ar(a, b). Hier betrachten wir die
1
P ar"(a, b)-Verteilungen. Die Verteilungen
P ar(a, b) werden danach als verschobene
0.8
Paretoverteilungen abgehandelt.
0.6
0.4
0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Dichten mit b = 2 und a = 2
(dick), a = 3 (d�nn) und a = 4
(gestrichelt).
a a2 a3
- 3(a-2)(a-1) + 2(a-1)
3
a
a-3
Dichte (x/b)-(a+1)1(b,")(x) Schiefe
3
b
a a2 2
-
a-2 (a-1)2
ab
charakt.
EWert nicht angebbar
Funktion
a - 1
a a2 momenterz.
Var b2 - existiert nicht
a - 2 (a - 1)2 Funktion
(a - 1)2
VarK - 1
a(a - 2)
" Parameter a > 0 und b > 0. ..
" Ist X paretoverteilt mit Parametern a und 1, dann ist log X exponentialverteilt mit
Parameter a.
B.2. STETIGE VERTEILUNGEN (SHV) 147
B.2.11 Verschobene Pareto-Verteilung
Die verschobene Pareto-Verteilung ist ge-
eignet zur Modellierung von Gro�sch�den,
insbesondere im Industrie-Feuer und
R�ckversicherungsbereich. 2
1.5
1
0.5
02 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x
Dichten mit � = 2 und � = 2
(dick), � = 3 (d�nn) und � = 4
(gestrichelt).
a a2 a3
- 3(a-2)(a-1) + 2(a-1)
3
a-3
Dichte ab(1 + bx)-(a+1)1(0,")(x) Schiefe
3
a a2 2
-
a-2 (a-1)2
1
charakt.
EWert nicht angebbar
Funktion
b(a - 1)
1 a a2
momenterz.
Var - existiert nicht
b2 a - 2 (a - 1)2 Funktion
a(a - 1)2
VarK - a2
a - 2
" Parameter a > 0 und b > 0.
1
" Ist X Pareto-verteilt, so hat Y = (X - 1) eine verschobene Pareto-Verteilung.
b
148 ANHANG B. STECKBRIEFE VON VERTEILUNGEN
Literaturverzeichnis
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Chapman and Hall, 1994.
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1997.
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BandI und II.
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1979.
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[23] Sundt,B.: An Introduction to Non-Life Insurance Mathematics. Verlag Versicherungs-
wirtschaft, 1984, Karlsruhe.
Index
a-priori-Verteilung, 83 Fundamentalgleichung, 39
Abzugsfranchise, 4 Funktionsweise von Versicherung, 2
Aktuar, 2
Gamma-Verteilung, 22
Algorithmus, 36
Gammaverteilung, 52
Alter, 100
Gammaverteilungen, 34
Alter des Autos, 100
geometrische Verteilung, 39
Anpassungskoeffizient, 59
Gesamtschadenverteilung, 38
Approximationen von Tailwahrscheinlich-
Gewinnbeteiligung, 3
keiten, 55
Gleichverteilung, 21
Ausgleich im Kollektiv, 2
Hachemeister, 88
Bayes sche Statistik, 83
Hachemeister-Daten, 87
Berechnung von Summenverteilungen, 41
Haftungsbegrenzung, 78
Binomialverteilung, 20, 21
Haftungsobergrenze, 25
hierarchische Credibility, 88
charakteristische Funktion, 26
Cramer-Lundberg-Ungleichung, 59
Individuelles Modell, 35
Integralfranchise, 4
DAV, 2
Irrtumsrisiko, 5
Deregulierung, 1
Iterationen, 77
Diskrete Ruinwahrscheinlichkeit, 57
Kilometerleistung, 100
Eigenschaften von Praemienprinzipien, 71
Kollektiv, 2
Eindeutigkeitssatz, 28
Kollektives Modell, 37
Elementarereignisse, 9
Konvergenz der Poissonverteilung, 33
empirischen Verteilung, 73
Korrelation, 17
Erfahrungstarifierung, 84
Korrelationskoeffizienten, 18
erwartungstreu, 75
Kumulanten, 27
Erwartungswerte, 12
Kumulrisiken, 3
erzeugende Funktion, 26
Kumulrisiko, 6 [ Pobierz całość w formacie PDF ]
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