[ Pobierz całość w formacie PDF ]
się proste. Aby jednak zrozumieć trudności, do których doprowadziła konstrukcja Schmidta. należy nieco głębiej
wniknąć w jej architekturę.
Najpierw uogólniony parametr afiniczny. Rozważmy dowolną krzywą czasopodobną (ograniczonego
przyspieszenia) w czasoprzestrzeni; oznaczmy tę krzywą przez . W dowolnym punkcie krzywej skonstruujmy reper
ortonormalny, czyli cztery prostopadle do siebie wektory jednostkowe (reper nazywa się także bazą), Reper taki
możemy traktować jako lokalny układ odniesienia. Przenieśmy ten reper wzdłuż całej krzywej . W efekcie, w każdym
punkcie krzywej y otrzymamy jeden reper. W takim wypadku mówi się o polu reperów wzdłuż krzywej . Wektor
styczny w każdym punkcie krzywej można rozłożyć na składowe względem reperu (lokalnego układu odniesienia)
zaczepionego właśnie w tym punkcie. Uogólnionym parameterem afinicznym nazywamy pewną wielkość
zdefiniowaną za pomocą tak określonych składowych wektorów stycznych do krzywej . Wzór, który tę wielkość
definiuje, jest bardzo podobny do wzoru definiującego długość krzywej w zwykłej geometrii.
Rys. 4.1. Wektor u styczny do krzywej można rozłożyć na składowe względem lokalnego układu odniesienia
(reperu). Czwarty wymiar czasoprzestrzeni został na rysunku pominięty.
Definicja Schmidta wydaje się naturalna, ponieważ jeśli krzywa jest czasopodobną geodetyką, to uogólniony
parametr afiniczny automatycznie staje się zwykłym parametrem afinicznym i jeśli rozważamy tylko czasopodobne
geodetyki, to problem b-zupełności czasoprzestrzeni redukuje się do problemu jej (czasopodobnej) geodezyjnej
zupełności (omawianej w rozdziale 3).
Powstaje pytanie, czy można uogólnić pojęcie geodezyjnego brzegu czasoprzestrzeni (por. rozdział 3) tak, by
uogólniony brzeg obejmował również "końce" krzywych ograniczonego przyspieszenia. Schmidt odpowiedział
pozytywnie na to pytanie; nowy brzeg czasoprzestrzeni nazwał b-brzegiem (mówi się również o brzegu Schmidta).
Jest to bardzo elegancka konstrukcja, która w naszych dalszych rozważaniach odegra ważną rolę. Na jej przykładzie
będziemy mieli okazję prześledzić, w Jaki sposób naturalna logika geometrycznych struktur kieruje ewolucją głębokich
pojęć fizycznych.
Konstrukcja Schmidta
Konstrukcja brzegu Schmidta jest pięknym przykładem nowoczesnej i eleganckiej matematyki. Mamy ścisłą
definicję uogólnionego parametru afinicznego i wydawałoby się. że niczego więcej nam nie potrzeba do określenia
zupełności lub niezupełności czasoprzestrzeni ze względu na wszystkie krzywe, także krzywe ograniczonego
przyspieszenia (a nie tylko ze względu na geodetyki). Ale matematyka to przede wszystkim hierarchia powiązanych
ze sobą struktur i chcąc dobrze zrozumieć problem oraz łączące się z nim definicje pojęć, trzeba osadzić je w owej
strukturze struktur". To właśnie ma na celu konstrukcja Schmidta.
Pamiętamy z poprzedniego podrozdziału, że kluczowy chwyt w definicji uogólnionego parametru afinlcznego
polegał na tym, by wyliczać go w każdym punkcie krzywej czasopodobnej względem lokalnego reperu, zaczepionego
w owym punkcie. Należy podkreślić, iż ma to przejrzystą interpretację fizyczną. Krzywą czasopodobną możemy
interpretować jako historię pewnego obserwatora. Reper zaczepiony w każdym punkcie tej krzywej to lokalny układ
odniesienia rozważanego obserwatora. Z punktu widzenia teorii względności jest naturalne, że pewną wielkość (w tym
wypadku uogólniony parametr afiniczny) definiuje się w każdej chwili czasu względem lokalnego układu odniesienia, a
więc układu odniesienia, względem którego obserwator w danej chwili spoczywa.
Na tę konstrukcję, naturalną z punktu widzenia fizyki, spójrzmy jednak oczami matematyka. Spojrzenie
matematyka zawsze odznacza się ogólnością. Zamiast o "reperach wzdłuż krzywej" będzie on mówił o "wyróżnionym
podzbiorze reperów w przestrzeni wszystkich możliwych reperów". Rozważmy więc rozmaitość czasoprzestrzenną M
(w dalszym ciągu będziemy mówić po prostu o czasoprzestrzeni M) i zbiór wszystkich możliwych reperów
zaczepionych we wszystkich punktach czasoprzestrzeni M. Zbiór ten będziemy nazywać przestrzenią reperów nad M i
oznaczać symbolem F(M). Zwróćmy uwagę na to, że punktem w przestrzeni F(M) jest reper. Zacieśnijmy na chwilę
rozważania do jednego punktu czasoprzestrzeni M (niech tym punktem będzie x" M) i rozważmy zbiór wszystkich
możliwych reperów zaczepionych w tym punkcie. Zbiór ten nazywa się włóknem nad x. Ustalmy uwagę na dowolnym
reperze należącym do włókna nad x. Wszystkie inne repery z tego włókna można traktować jako powstałe przez obrót
tego reperu (czyli pozostawiamy nieruchomym punkt zaczepienia reperu i obracamy wektory tworzące reper). Całą tę
konstrukcję nazywa się wiązką włóknistą reperów nad czasoprzestrzenią. Przestrzeń reperów F(M) często określa się
mianem przestrzeni totalnej tej wiązki, a M jej bazy.
Ryi. 4.2. Schematyczny rysunek wiązki włóknistej reperów nad czasoprzestrzenią M. Każdy punkt przestrzeni F(M)
jest reperem w czasoprzestrzeni M.
Wiązka włóknista reperów jest naturalnym matematycznym środowiskiem dla teorii względności. Ażeby to dostrzec
w całej pełni, skierujmy uwagę na następującą okoliczność. Wspomnieliśmy powyżej, że wszystkie repery z danego
włókna można otrzymać przez obrót dowolnego reperu należącego do tego włókna. Ale obrotów w matematyce też
nie można wykonywać na wyczucie; muszą być ściśle określone. Wyznacza je pewna struktura matematyczna, zwana
grupą. W strukturze tej zawarta jest reguła (zwana regułą działania grupowego), która powiada, jak powinno się
przemieścić dany reper, by wykonać odpowiedni obrót. Na przykład grupa obrotów euklidesowych określa, jak
wykonywać obroty w zwykłej przestrzeni euklidesowej. Grupa, która mówi. jak należy wykonywać obroty reperów w
danej wiązce włóknistej reperów, nazywa się grupą strukturalną wiązki. W rozważanym przez nas przypadku jest nią
grupa Lorentza. Każe ona obracać repery zgodnie z transformacjami Lorentza, znanymi z teorii względności. Jeżeli
utożsamić repery z lokalnymi układami odniesienia, to każde przekształcenie Lorentza od jednego (lokalnego) układu
odniesienia do drugiego, jakie tak często wykonuje się na podstawowym kursie teorii względności, jest w istocie
operacją w wiązce reperów nad czasoprzestrzenią (z grupą Lorentza jako grupą strukturalna). Abstrakcyjna
matematyka występuje w całej fizyce, choć na ogól studenci fizyki nie zdają sobie z tego sprawy. Ale podczas
rozważania subtelnych zagadnień, takich jak problem osobliwości, proste intuicje nie wystarczają i trzeba koniecznie
odwołać się do abstrakcyjnych struktur matematycznych.
Teraz już bardzo schematycznie przedstawmy konstrukcję Schmidta. Jeżeli w każdym punkcie na krzywej
przestrzenno-podobnej v w czasoprzestrzeni M rozważamy reper lub co oznacza to samo jeden reper
przesuwamy wzdłuż krzywej . to w przestrzeni reperów F(M) wybieramy pewien ciąg. Jeżeli czasoprzestrzeń M jest
niezupełna i krzywa gdzieś się urywa, to ciąg reperów w przestrzeni F(M) także się gdzieś urywa. Cały kunszt
konstrukcji Schmidta polega na tym, że przestrzeń F(M) znacznie łatwiej poddaje się matematycznym manipulacjom
niż czasoprzestrzeń M. W szczególności, w przestrzeni F(M) daje się łatwo zdefiniować granice ciągów, jakie tworzą
repery, i nietrudno określić, kiedy dwa różne ciągi reperów dążą do tej samej granicy. Jeżeli ciąg reperów, [ Pobierz całość w formacie PDF ]
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl rafalstec.xlx.pl
się proste. Aby jednak zrozumieć trudności, do których doprowadziła konstrukcja Schmidta. należy nieco głębiej
wniknąć w jej architekturę.
Najpierw uogólniony parametr afiniczny. Rozważmy dowolną krzywą czasopodobną (ograniczonego
przyspieszenia) w czasoprzestrzeni; oznaczmy tę krzywą przez . W dowolnym punkcie krzywej skonstruujmy reper
ortonormalny, czyli cztery prostopadle do siebie wektory jednostkowe (reper nazywa się także bazą), Reper taki
możemy traktować jako lokalny układ odniesienia. Przenieśmy ten reper wzdłuż całej krzywej . W efekcie, w każdym
punkcie krzywej y otrzymamy jeden reper. W takim wypadku mówi się o polu reperów wzdłuż krzywej . Wektor
styczny w każdym punkcie krzywej można rozłożyć na składowe względem reperu (lokalnego układu odniesienia)
zaczepionego właśnie w tym punkcie. Uogólnionym parameterem afinicznym nazywamy pewną wielkość
zdefiniowaną za pomocą tak określonych składowych wektorów stycznych do krzywej . Wzór, który tę wielkość
definiuje, jest bardzo podobny do wzoru definiującego długość krzywej w zwykłej geometrii.
Rys. 4.1. Wektor u styczny do krzywej można rozłożyć na składowe względem lokalnego układu odniesienia
(reperu). Czwarty wymiar czasoprzestrzeni został na rysunku pominięty.
Definicja Schmidta wydaje się naturalna, ponieważ jeśli krzywa jest czasopodobną geodetyką, to uogólniony
parametr afiniczny automatycznie staje się zwykłym parametrem afinicznym i jeśli rozważamy tylko czasopodobne
geodetyki, to problem b-zupełności czasoprzestrzeni redukuje się do problemu jej (czasopodobnej) geodezyjnej
zupełności (omawianej w rozdziale 3).
Powstaje pytanie, czy można uogólnić pojęcie geodezyjnego brzegu czasoprzestrzeni (por. rozdział 3) tak, by
uogólniony brzeg obejmował również "końce" krzywych ograniczonego przyspieszenia. Schmidt odpowiedział
pozytywnie na to pytanie; nowy brzeg czasoprzestrzeni nazwał b-brzegiem (mówi się również o brzegu Schmidta).
Jest to bardzo elegancka konstrukcja, która w naszych dalszych rozważaniach odegra ważną rolę. Na jej przykładzie
będziemy mieli okazję prześledzić, w Jaki sposób naturalna logika geometrycznych struktur kieruje ewolucją głębokich
pojęć fizycznych.
Konstrukcja Schmidta
Konstrukcja brzegu Schmidta jest pięknym przykładem nowoczesnej i eleganckiej matematyki. Mamy ścisłą
definicję uogólnionego parametru afinicznego i wydawałoby się. że niczego więcej nam nie potrzeba do określenia
zupełności lub niezupełności czasoprzestrzeni ze względu na wszystkie krzywe, także krzywe ograniczonego
przyspieszenia (a nie tylko ze względu na geodetyki). Ale matematyka to przede wszystkim hierarchia powiązanych
ze sobą struktur i chcąc dobrze zrozumieć problem oraz łączące się z nim definicje pojęć, trzeba osadzić je w owej
strukturze struktur". To właśnie ma na celu konstrukcja Schmidta.
Pamiętamy z poprzedniego podrozdziału, że kluczowy chwyt w definicji uogólnionego parametru afinlcznego
polegał na tym, by wyliczać go w każdym punkcie krzywej czasopodobnej względem lokalnego reperu, zaczepionego
w owym punkcie. Należy podkreślić, iż ma to przejrzystą interpretację fizyczną. Krzywą czasopodobną możemy
interpretować jako historię pewnego obserwatora. Reper zaczepiony w każdym punkcie tej krzywej to lokalny układ
odniesienia rozważanego obserwatora. Z punktu widzenia teorii względności jest naturalne, że pewną wielkość (w tym
wypadku uogólniony parametr afiniczny) definiuje się w każdej chwili czasu względem lokalnego układu odniesienia, a
więc układu odniesienia, względem którego obserwator w danej chwili spoczywa.
Na tę konstrukcję, naturalną z punktu widzenia fizyki, spójrzmy jednak oczami matematyka. Spojrzenie
matematyka zawsze odznacza się ogólnością. Zamiast o "reperach wzdłuż krzywej" będzie on mówił o "wyróżnionym
podzbiorze reperów w przestrzeni wszystkich możliwych reperów". Rozważmy więc rozmaitość czasoprzestrzenną M
(w dalszym ciągu będziemy mówić po prostu o czasoprzestrzeni M) i zbiór wszystkich możliwych reperów
zaczepionych we wszystkich punktach czasoprzestrzeni M. Zbiór ten będziemy nazywać przestrzenią reperów nad M i
oznaczać symbolem F(M). Zwróćmy uwagę na to, że punktem w przestrzeni F(M) jest reper. Zacieśnijmy na chwilę
rozważania do jednego punktu czasoprzestrzeni M (niech tym punktem będzie x" M) i rozważmy zbiór wszystkich
możliwych reperów zaczepionych w tym punkcie. Zbiór ten nazywa się włóknem nad x. Ustalmy uwagę na dowolnym
reperze należącym do włókna nad x. Wszystkie inne repery z tego włókna można traktować jako powstałe przez obrót
tego reperu (czyli pozostawiamy nieruchomym punkt zaczepienia reperu i obracamy wektory tworzące reper). Całą tę
konstrukcję nazywa się wiązką włóknistą reperów nad czasoprzestrzenią. Przestrzeń reperów F(M) często określa się
mianem przestrzeni totalnej tej wiązki, a M jej bazy.
Ryi. 4.2. Schematyczny rysunek wiązki włóknistej reperów nad czasoprzestrzenią M. Każdy punkt przestrzeni F(M)
jest reperem w czasoprzestrzeni M.
Wiązka włóknista reperów jest naturalnym matematycznym środowiskiem dla teorii względności. Ażeby to dostrzec
w całej pełni, skierujmy uwagę na następującą okoliczność. Wspomnieliśmy powyżej, że wszystkie repery z danego
włókna można otrzymać przez obrót dowolnego reperu należącego do tego włókna. Ale obrotów w matematyce też
nie można wykonywać na wyczucie; muszą być ściśle określone. Wyznacza je pewna struktura matematyczna, zwana
grupą. W strukturze tej zawarta jest reguła (zwana regułą działania grupowego), która powiada, jak powinno się
przemieścić dany reper, by wykonać odpowiedni obrót. Na przykład grupa obrotów euklidesowych określa, jak
wykonywać obroty w zwykłej przestrzeni euklidesowej. Grupa, która mówi. jak należy wykonywać obroty reperów w
danej wiązce włóknistej reperów, nazywa się grupą strukturalną wiązki. W rozważanym przez nas przypadku jest nią
grupa Lorentza. Każe ona obracać repery zgodnie z transformacjami Lorentza, znanymi z teorii względności. Jeżeli
utożsamić repery z lokalnymi układami odniesienia, to każde przekształcenie Lorentza od jednego (lokalnego) układu
odniesienia do drugiego, jakie tak często wykonuje się na podstawowym kursie teorii względności, jest w istocie
operacją w wiązce reperów nad czasoprzestrzenią (z grupą Lorentza jako grupą strukturalna). Abstrakcyjna
matematyka występuje w całej fizyce, choć na ogól studenci fizyki nie zdają sobie z tego sprawy. Ale podczas
rozważania subtelnych zagadnień, takich jak problem osobliwości, proste intuicje nie wystarczają i trzeba koniecznie
odwołać się do abstrakcyjnych struktur matematycznych.
Teraz już bardzo schematycznie przedstawmy konstrukcję Schmidta. Jeżeli w każdym punkcie na krzywej
przestrzenno-podobnej v w czasoprzestrzeni M rozważamy reper lub co oznacza to samo jeden reper
przesuwamy wzdłuż krzywej . to w przestrzeni reperów F(M) wybieramy pewien ciąg. Jeżeli czasoprzestrzeń M jest
niezupełna i krzywa gdzieś się urywa, to ciąg reperów w przestrzeni F(M) także się gdzieś urywa. Cały kunszt
konstrukcji Schmidta polega na tym, że przestrzeń F(M) znacznie łatwiej poddaje się matematycznym manipulacjom
niż czasoprzestrzeń M. W szczególności, w przestrzeni F(M) daje się łatwo zdefiniować granice ciągów, jakie tworzą
repery, i nietrudno określić, kiedy dwa różne ciągi reperów dążą do tej samej granicy. Jeżeli ciąg reperów, [ Pobierz całość w formacie PDF ]